1-GENERALIDADES

 

As ciências actuais, mesmo aquelas de índole sociológica, procuram expressar certas características dos seus fenómenos em função de outras e quanto mais quantitativa for essa relação mais rigorosos são os resultados conseguidos.

Matematicamente a noção de função não é mais do que uma relação tal que a todos os elementos de um dado conjunto (o domínio) corresponderá um e um só elemento de outro conjunto (o contradomínio).

 

Podes ver, noutra página, alguns exemplos que ajudarão a entender a noção

1.1- Forma de apresentação

Repara na figura: aqui está definida uma função onde o conjunto D={1,2,3,4} (conjunto de todos os valores para os quais a relação tem significado) chamaremos dóminio da função. O conjunto E, conjunto de chegada, tem um subconjunto C={2,4,6,8} (os valores assumidos pela função (esses elementos constituem o contradomínio).

 

A mesma função poderia ter sido dada por outras formas :

1- Tabela

2-Expressão analítica e o domínio

3- Gráfico

4-Conjunto de pares

 

A escolha do modo de apresentar uma função depende do fim em vista, por exemplo na maior parte das vezes o gráfico ou a expressão analítica são mais usuais, porém nas ciências ditas experimentais é muito habitual o uso de tabelas.

Nota: se uma função é dada pela sua expressão analítica e não é fornecido o seu domínio toma-se como domínio o conjunto R

 

1.1.1- Dadas as funções abaixo determina nelas o seu dominio e contradomínio:

b) g(x)= {(4,5),(6,3),(7,6),(8,1),(9,3) }

    c) t(x)= 3x Df ={1,3,5,7,9}

    d)

 

1.1.2- Com as funções da alínea anterior

a) calcula f(-1), g(7) , h(8) e t(9)

b) determina x tal que f(x)=-3; g(x)=3 ;  h(x)=6 e t(x)=21

1.2- Monotonia duma função

A palavra monotonia faz parte do nosso vocabulário. Uma coisa é monótona quando é sempre o mesmo, não varia...

Se verificares com atenção a fig. ao lado, dás conta que, na função f(x), se tomares um valor x1>x2 também f(x1)>f(x2) nessa circunstância diz-se que f(x) é crescente

(à medida que aumenta o valor da variável x aumenta também o valor da função)

Já na função h(x) passa-se o contrário se x1>x2 então h(x1)< h(x2) e f(x) diz-se decrescente

(à medida que o valor da variável x cresce o valor da função decresce).

No entanto a função g(x) não é monótona ? Justifica.

1.2.1- Se uma função antes de x=a é crescente e depois de x=a é decrescente então ela tem um valor máximo para x=a.

Se pelo contrário antes de a for decrescente e depois de a crescente ela tem um valor mínimo para x=a. Observa a fig. seguinte:

A função v(x) tem em -1.2 um máximo que é de 6, e um mínimo em 1.5 que é de -0.4

A função t(x) tem um máximo em x=5.5 com um valor de 5, e um mínimo em 0.5 com um valor de -0.8

 

2- Procura agora observar o gráfico da esquerda e responde:

a) Qual do domínio e o contradomínio da função da figura ?

b) Determina os intervalos onde a função é crescente.

c) O mesmo para os intervalos onde ela é decrescente.

d) O valor da função atinge um valor máximo absoluto? qual?

Para que valor de x ? No entanto tem outro valor máximo. Qual ? para que valor de x ?

e) Justifica que a função f(x) não tem um valor que se possa considerar mínimo absoluto.

f) No entanto tem valores mínimos relativos. Quais ? Para que valores de x ?

g) Determina os valores de x tais que f(x)=0 (zeros da função)

3- Na fig. encontra-se o gráfico que traduz o consumo diário de água na Escola.

3.1-A que horas começam e acabam os trabalhos na Escola ?

3.2-Quando é crescente o consumo ? e decrescente ? A que horas são alcançados os valores máximos e mínimos do consumo ?

3.3- Elabora um pequeno relatório sobre o assunto, justificando os valores lidos.

3.4- Podes agora "descansar" usando este jogo de funções  jogof.gif (1176 bytes)

4- Num sistema de eixos representando a variável tempo e a função velocidade, faz um gráfico que traduza a situação seguinte: o móvel está parado, depois acelera durante dois minutos até a veloc de 10 m/min. Permanece com essa velocidade durante 5 min. desacelera no min. seguinte até parar.Fica 5 min. parado e recomeça o processo.

5-Paridade de uma função

Uma função f(x) diz-se par se se verificar que f(-x)=f(x)

A função será impar se f(-x)=-f(x).

No entanto existem funções que não têm paridade. f(-x)¹ f(x)¹ -f(x)

Qual é o interesse disso?

sabendo a paridade da função podemos aproveitar as consequências que surgem no gráfico

(estuda a figura e procura encontrar a relação entre paridades e simetrias )..

5.1- Com a ajuda do programa winplot  traça o gráfico das funções dadas abaixo e conclui, primeiro por leitura do gráfico e depois por via analítica, sobre a paridade delas. Aproveita esses gráficos para determinar os intervalos de monotonia e os zeros de cada uma.

a) x3-3x+1

b) x4-x2+3

Uma função bastante simples é a função completa do 1º grau (y=mx+b) também denominada função afim.

Se quizeres ficar com alguns conhecimentos sobre ela visita o   script 

Tenta agora usar o  winplot estudar a função quadrática y= x2-6x +8 . Nota que, como deves saber, aparecerá uma parábola, és capaz de determinar o seu vértice ?

O problema nem sempre é fácil, como também não é fácil "descobrir" a influência no gráfico dos coeficientes de x2, de x e o termo indepedente. Aprecia numa animação o que acontece quanto a essa influência na representação gráfica.

Estudar funções é acima de tudo aprender a "ler" os gráficos de cada uma delas, existem bons programas para rapidamente obter o gráfico de uma função a partir da sua expressão analítica. No entanto podes usar um pequeno "script" como visualisador

6- Utililizando o programa  Deriveou o faz o estudo (domínio, zeros, paridade, intervalos de monotonia, máximo, mínimo, etc) das seguintes funções:

1- f(x)= x3 - 4x + 2              2- g(x)= 2x4 - 3x3 + x - 2

 Talvez agora estejas em condições de realizar o teu